Ortogonaaliset polynomit

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Ortogonaaliset polynomit ovat ääretön joukko polynomeja ${\displaystyle P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x)\ldots ,P_{n}(x),\ldots \,}$, joista ${\displaystyle n}$:s polynomi on aina ${\displaystyle n}$:ttä astetta. Ortogonaalipolynomit ovat nimensä mukaisesti ortogonaalisia, eli kahden polynomin sisätulo

${\displaystyle \langle P_{n},P_{m}\rangle =\int _{a}^{b}P_{n}(x)P_{m}(x)W(x)dx}$

on nolla, aina kun ${\displaystyle n\neq m}$. Tässä esiintyvä funktio ${\displaystyle W(x)}$ on sisätulon painofunktio, joka voi olla myös ykkönen. Tämän ominaisuuden vuoksi tietty ortogonaalipolynomien joukko muodostaa polynomiavaruuden kannan samaan tapaan kuin vaikkapa koordinaatiston kantavektorit muodostavat vektoriavaruuden kannan. Integrointirajojen ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ väliin jäävää aluetta kutsutaan polynomiperheen ortogonaalisuusväliksi. Rajoista jompikumpi tai molemmat voivat olla äärettömiä. Kanta-ominaisuutensa vuoksi ortogonaalipolynomeilla on runsaasti käytännön sovelluksia. Niiden avulla voidaan esimerkiksi kirjoittaa sarjakehitelmiä muille funktioille.